Lời người dịch: Chúng ta đã biết nhiều đến chủ nghĩa hiện đại và hậu hiện đại trong văn học, kiến trúc,… Bài viết này của hai tác giả đề cập đến ảnh hưởng của chủ nghĩa hậu hiện đại trong một lĩnh vực rất quen thuộc của toán học, đó là lĩnh vực giải tích.
Chủ nghĩa hậu hiện đại, một thuật ngữ được dùng để chỉ những sự thay đổi hay phát triển trong nửa sau của thế kỷ trước, là một chủ nghĩa khác với chủ nghĩa hiện đại, và đôi khi chống lại nó. Cũng giống như các loại chủ nghĩa khác, nó là một thứ vô định hình trong bản chất và ám chỉ đến những sự phát triển đa dạng trong các lĩnh vực khoa học và phi-khoa học. Sự bắt đầu của chủ nghĩa hậu hiện đại không kéo theo sự kết thúc của chủ nghĩa hiện đại và không có sự phân biệt rõ ràng nào giữa hai chủ nghĩa đó. Cả hai cùng tồn tại dưới những hình thái khác nhau.
Theo Lyotard (1979), chủ nghĩa hậu hiện đại có thể xem như là chủ nghĩa hoài nghi đối với các siêu tự sự (metanarrative). Bởi vì các lĩnh vực khác nhau tập trung vào và làm việc với những ý tưởng và vấn đề khác nhau, đôi khi là trái ngược nhau, cho nên cái siêu tự sự được phát triển theo bề dày lịch sử của chúng cũng khác nhau một cách cơ bản.
Do đó, việc phân tích (hay giải cấu trúc – deconstructing) các siêu tự sự đó có nghĩa là truy vấn lại lịch sử phát triển và những khẳng định đã được đưa ra. Nỗ lực này cho thấy những lựa chọn đã được tiến hành trong lịch sử tiến hóa của mỗi lĩnh vực.
Chúng tôi quan tâm đến việc chủ nghĩa hậu hiện đại đã ảnh hưởng như thế nào lên toán học, đặc biệt lên lĩnh vực giải tích toán học, vốn được xem như là tổng quát hóa của phép tính vi phân. Một mặt, các quyển sách giáo khoa về giải tích hiện đại được đặc trưng bởi lối biểu thị tiên đề hóa, và mặt khác chúng lại đưa ra những ứng dụng vật lý được bổ sung bởi các biểu đồ hoặc hình ảnh làm cho sự lĩnh hội được dễ dàng. Các khái niệm chính bao gồm số thực, khái niệm hàm số và giới hạn. Chúng được đề xuất bởi một lối trình bày mang tính hình thức và theo một thực đơn gồm định nghĩa, định lý và chứng minh tiếp thêm bằng một ít các ví dụ minh họa. Kiểu biểu thị này của phép tính vi phân đã được tiến hành trong nửa đầu của thế kỷ trước. Kết cục đó được xem như là hiện đại và nó đạt đượt thông qua một lịch sử phát triển lâu dài mang tính phi tuyến với nhiều lần ngắt quãng.
Dưới quan điểm hậu hiện đại, một câu hỏi nẩy sinh do sự cần thiết phải có một hệ quy chiếu được mở rộng hơn. Câu hỏi là: Liệu có một con đường nào khác cho giải tích toán học và dưới một hệ quy chiếu được mở rộng, cơ sở khoa học của giải tích không những có thể được xem như là một sản phẩm cuối cùng mà nó còn được xem như một quá trình có nhiều khả năng để lựa chọn mà ở đó các quyết định được đưa ra dọc theo hành trình này.
Việc phát hiện ra cuốn sách da cừu của Archimed đã cho thấy quan điểm hình học của ông chứa trong một số nhận thức rất đặc sắc về diện tích của các hình có biên là các đường parabol. Cách tiếp cận của ông có thể được nhìn nhận như là những cố gắng phi thường nhưng ông đã không đưa ra được một phương pháp để có thể dẫn đến những khái niệm tổng quát. Ông đã đi những bước đầu tiên trên con đường đẫn đến khái niệm tích phân Riemann tuy nhiên ông đã không phát triển được một phương pháp như Riemann đã làm.
Những bước tiến mới về đường hướng lý thuyết của giải tích đã chỉ được thực hiện hơn một nghìn năm sau đó trong cộng đồng toán học ở Châu âu. Những cố gắng tiếp theo được thực hiện dưới những ảnh hưởng của khoa học tự nhiên đặc biệt là trong nghiên cứu chuyển động của hành tinh và quỹ đạo đầu đạn. Những nghiên cứu đó liên quan cùng lúc đến sự phụ thuộc giữa vị trí hình học và thời gian. Ở đây, Johannes Kepler (1571-1630) đã sử dụng các tư liệu được cung cấp bởi Tycho Brahe (1546-1601) và dẫn ra các luật của ông về quỹ đạo của các hành tinh. Newton (1643-1726) đã phát triển xa hơn và hoàn thiện lý thuyết về chuyển động hành tinh bằng cách sử dụng phép tính vi phân vô cùng bé vốn đặt trọng tâm lên sự phụ thuộc theo thời gian. Tuy nhiên, ông đã không áp dụng khái niệm hiện đại về hàm số. Cùng thời điểm đó, Leibniz (1646-1716) đã tạo ra phép tính vi phân vô cùng bé bằng cách giới thiệu những đại lượng vô cùng bé và cũng không dùng đến cách tiếp cận mang tính hàm số. Dẫu vậy, cả hai ông cùng với một số nhà khoa học cùng thời khác đã đặt những cơ sở cho những người kế tiếp trong thế kỷ 18. Dần dần, các nhà toán học tập trung hơn vào việc nghiên cứu sự phụ thuộc thuần túy vào các số. Euler (1707-1783) đã xây dựng những sự phụ thuộc này và là người đầu tiên giới thiệu khái niệm hàm mà chúng ta vẫn dùng cho đến ngày nay. Điều đó có nghĩa là phép tính vi phân vô cùng bé đã đạt đến một cấp độ cao hơn và do đó bắt đầu được gọi là hiện đại. Trong những thập kỷ tiếp theo, các nghiên cứu tập trung chủ yếu vào khía cạnh tính toán nhưng vẫn thiếu một cơ sở lý thuyết. Hệ thống số thực vẫn chưa có một cơ sở lý thuyết chặt chẽ và khái niệm giới hạn vẫn chưa xuất hiện.
Karl Weierstraß (1815-1897) đã bắc một cái cầu cho cả hai khoảng trống đó bằng cách sử dụng ngôn ngữ epsilon- delta để định nghĩa giới hạn và bổ sung các cơ sở lý thuyết cho các số thực. Cơ sở lý thuyết này được hoàn thiện sau đó bởi Dedekind và Cantor đây chính là những người đã định nghĩa các số thực bằng các nhát cắt Dedekind. Cantor đã đưa ra khái niệm dãy Cauchy (lớp tương đương của các dãy Cauchy) và giả thiết liên tục. Các cống hiến của họ đã thiết lập sự bổ sung đầy đủ của tập số hữu tỷ thành tập số thực và do đó họ đạt được một trường đầy đủ của các số. Từ đó trở đi ta có thể nói về giải tích cổ điển. Nó [giải tích cổ điển] tự biểu hiện như là một chuyên ngành lý thuyết dựa trên những khái niệm nền tảng vốn được biết đến một cách hoàn toàn chắc chắn và rõ ràng.
Giải tích hiện đại lệ thuộc vào những ảnh hưởng đa dạng như là phép đại số hóa (các nhóm Lie), phương pháp biểu thị tiên đề hóa (Bourbaki), và những sự trừu tượng hóa liên quan đến số thực dẫn đến việc dùng các không gian Banach, rồi sự mở rộng các số thực (giải tích không chuẩn hóa) tương ứng. Các khái niệm tổng quát của độ đo dẫn đến khái niệm tổng quát về tích phân (tích phân Lebesgue hay Ito). Tất cả các sự phát triển xa hơn tạo nên một xu hướng trừu tượng hóa rất mãnh liệt.
Dưới quan điểm hậu hiện đại, nẩy sinh hai vấn đề sau: Sự hoài nghi đối với các cơ sở của giải tích hiện đại và sự không chắc chắn của một phương pháp chính thức dùng để xét các bài toán giải tích. Sự hoài nghi đối với cơ sở của tập hợp và các khẳng định logic vốn được dùng chẳng hạn để định nghĩa giới hạn cũng như là sự mở rộng và đào sâu hơn của một số nguyên lý giải tích được ưa thích khác. Hệ quả của việc hoài nghi đó là sự cần phải chấp nhận những khác biệt về nhận thức của các bậc thang vô cùng bé và tính xác thực của một lý thuyết sẽ phụ thuộc vào những tình huống cụ thể và các áp dụng tương ứng. Theo Jürgen Jost (1998): “… toán học hiện đại quan tâm đến cấu trúc nội tại của nó, và nó đã đạt được những thành tựu to lớn ở đó, tuy nhiên nó đã đánh mất ít nhiều những cảm hứng đến từ sự tương tác gần gũi hơn với các khoa học khác. Xu hướng này đã bị hoán đổi chút ít trong những năm gần đây, và đặc biệt những mối liên hệ gần gũi đã được thiết lập giữa một số lĩnh vực của toán học và vật lý lý thuyết. Đồng thời, trong các nghiên cứu toán học, mối quan tâm trọng điểm có lẽ đã dịch chuyển một chút từ lý thuyết tổng quát sang các bài toán cụ thể hơn trong đó đòi hỏi những phương pháp đặc biệt hơn.’’ Thêm nữa, Freudenthal (1979) đã phê bình chủ nghĩa hình thức mở rộng: “Một số xu hướng của hình học vi phân đã trở nên cứng nhắc theo chủ nghĩa hình thức [trong khoảng thời gian từ 1920 đến 1940] ”.
Liên quan đến sự khác nhau giữa toán lý thuyết và toán ứng dụng, Giải tích toán học đã cho thấy một sự nhập nhằng đến kỳ cục. Ở mức độ giảng dạy trong đại học, Giải tích thường được xem như là một phần của toán lý thuyết. Mặt khác, nó lại thể hiện mối liên hệ mật thiết với toán học tính toán. Thêm vào đó, các phương pháp của phép tính vi phân vô cùng bé đóng vai trò ngày càng quan trọng hơn trong việc mô hình hóa toán học. Bên cạnh các quá trình mô hình hóa được biết đến nhiều trong các khoa học “chính xác” như là vật lý, mô hình hóa ngày nay còn quan tâm đến những sự mở rộng ngày càng tăng sang các lĩnh vực mà lúc khởi đầu không mang tính toán học, chẳng hạn như kinh tế hay khoa học xã hội. Việc tập trung vào vai trò của giải tích trong các khoa học như thế để xem nó như là một liên kết với thế giới “thực” (bên cạnh việc nghiên cứu toán học thuần túy lý thuyết) chính là một nguyên nhân thứ hai để hoài nghi. Các siêu tự sự liên quan đến các đối tượng dùng cho việc mô hình hóa thường tạo nên các điều kiện tiên quyết, một kiểu “tiền-mô hình” hoặc giả thiết, vốn cung cấp một nguồn cho các quá trình mô hình hóa về mặt toán học. Điều này tạo ra những diễn giải và sự trừu tượng hóa xa hơn chừng nào mà những siêu tự sự này được xét đến.
0 nhận xét :