GS Ngô Bảo Châu: Toán học là môn khoa học gần gũi nhất với con người

VTV.vn - Những thắc mắc của các bạn trẻ tham dự buổi giao lưu tại L’Espace với sự góp mặt của Giáo sư Ngô Bảo Châu và Giáo sư Cesdric Villani đã được giải đáp cặn kẽ.

Chiều 24/8, tại Trung tâm văn hóa Pháp L’Espace đã diễn ra buổi gặp gỡ giữa giáo sư Ngô Bảo Châu, Giáo sư Cesdric Villani với các bạn trẻ yêu toán học.

Giáo sư Cesdric Villani hiện là Giám đốc Học viện Henry Poincaré và là giáo sư Trường Đại học Lyon 1. Ông nghiên cứu các phương trình vật lý thống kê mô tả trạng thái thống kê của các phân tử khí và plasma. Bên cạnh chuyên gia người Pháp, giáo sư Ngô Bảo Châu cũng tham dự và cùng giao lưu, chia sẻ câu chuyện về bộ môn Toán học. Hiện thiên tài toán học Việt Nam đang làm việc tại Viện Nghiên cứu Khoa học Quốc gia Pháp CNRS và Viện nghiên cứu cao cấp Princeton, là giáo sư Đại học Chicago, Chủ tịch Hội đồng Khoa học tại Viện nghiên cứu cao cấp về Toán của Việt Nam.

Giáo sư Ngô Bảo Châu và Giáo sư Cédric Villani đã có cuộc gặp gỡ rất thân mật và cởi mở để đưa toán học đến gần hơn với công chúng.

Buổi gặp gỡ trở nên sôi nổi khi hai vị giáo sư nhiệt tình chia sẻ những kinh nghiệm và kỉ niệm đáng nhớ khi giải quyết những mệnh đề và đưa ra các định lý. Các bạn trẻ tham dự buổi giao lưu cũng hào hứng đưa ra những câu hỏi về Toán học và được hai vị khách mời giải đáp cặn kẽ.

Buổi giao lưu cùng hai nhà Toán học nổi tiếng thế giới cùng đoạt hai Huy chương Toán học Fields năm 2010 thu hút rất đông các bạn trẻ đến tham dự. Cuộc trò chuyện trở nên gần gũi hơn khi hai vị giáo sư cùng chia sẻ những câu chuyện, con đường đi đến niềm đam mê toán học của mình.

Buổi gặp gỡ được rất nhiều tầng lớp công chúng quan tâm.

Giáo sư Ngô Bảo Châu chia sẻ: "Toán học ngày nay đã khác rất nhiều so với ngày xưa, dù bộ môn này không gần gũi như các môn khoa học khác như Vật lý, nhưng các công nghệ hiện nay như smartphone, internet lại chính là bộ mặt của Toán học. Ngoài ra, hai lĩnh vực lớn đó là quốc phòng hay kinh tế cũng không thể có thành tựu nếu không có Toán học". Cũng theo giáo sư Ngô Bảo Châu, Toán học có lẽ là môn khoa học gần gũi nhất với con người, bởi mục tiêu của Toán học đó là giải quyết các vấn đề xung quanh cuộc sống.

Trong lúc giải đáp những thắc mắc của các bạn trẻ, giáo sư Cédric Villani nhận định độ tuổi 12, 13 chính là thời điểm quyết định để Toán học gây ấn tượng và ham mê với trẻ nhỏ. Ông cũng nói lên sự trăn trở làm sao để Toán học được ứng dụng trong các mặt của đời sống như công nghệ và nâng cao Toán lên tầm văn hóa.

Cùng suy nghĩ như Cédric Villani, giáo sư Ngô Bảo Châu cho biết, hiện ở Quy Nhơn đang có dự án xây dựng bảo tàng khoa học, trong đó sẽ có không gian riêng dành cho Toán học. Giáo sư cũng nêu quan điểm về Toán học và đời sống, ông cho rằng mọi thứ đều có liên hệ với nhau.

Mặc dù còn rất nhiều thắc mắc của các bạn trẻ chưa được giải đáp nhưng mục tiêu truyền lửa, chia sẻ đam mê của buổi gặp gỡ đã được hai giáo sư Ngô Bào Châu và Cesdric Villani chạm đến được các bạn trẻ cũng như những người có mặt tại buổi giao lưu.

Nguồn: http://vtv.vn/

Giáo sư Ngô Bảo Châu

GS Ngô Bảo Châu sinh năm 1972 tại Hà Nội, là con duy nhất của GS TSKH Ngô Huy Cẩn, chuyên gia hàng đầu về cơ học và PGS TS Trần Lưu Vân Hiền. Anh từng học tại trường thực nghiệm Giảng Võ, trước khi vào khối chuyên toán của ĐH Khoa học Tự nhiên (ĐH Quốc gia Hà Nội).
Năm 1988, Bảo Châu tham dự kỳ thi Olympic Toán quốc tế tại Australia và giành huy chương Vàng. Năm sau, anh tiếp tục giành huy chương vàng Olympic Toán quốc tế tại Đức. Cũng trong năm 1989, anh sang Pháp học tại ĐH Paris 6 và bảo vệ luận án tiến sĩ khi mới 25 tuổi tại ĐH Sư phạm Paris - ngôi trường danh tiếng bậc nhất nước Pháp. Năm 2003, ở tuổi 31, anh hoàn thành luận án habilitation (tương đương tiến sĩ khoa học) tại ĐH Paris 11 và đầu năm sau trở thành giáo sư của đại học này.
Năm 2005, ở tuổi 33, Ngô Bảo Châu được đặc cách phong hàm giáo sư và trở thành giáo sư trẻ tuổi nhất Việt Nam. Năm 2007, sau khi chứng minh được “Bổ đề cơ bản”, một giả thuyết then chốt của Chương trình Langlands, anh được trao Giải thưởng Oberwolfach của Đức, Giải thưởng của Viện Hàn lâm Pháp.
Từ năm 2007 đến nay, GS Ngô Bảo Châu trở thành giáo sư đặc biệt tại Viện Toán học Việt Nam và tháng 9 tới, GS Ngô Bảo Châu sẽ bắt đầu làm việc tại khoa Toán ĐH Chicago (Mỹ).
Đầu tháng 8, Phó thủ tướng Nguyễn Thiện Nhân đã mời Ngô Bảo Châu về Việt Nam công tác và đóng góp cho chương trình nhằm đưa nước ta trở thành cường quốc về Toán. Chính phủ cũng đã phê duyệt Chương trình trọng điểm quốc gia phát triển Toán học giai đoạn 2010-2020, với tâm điểm là xây dựng Viện Nghiên cứu cấp cao về Toán.
Ngày 19/8/2010 tại lễ khai mạc Đại hội Toán học thế giới tổ chức ở Hyderabad, Ấn Độ, bà Pratibha Patil - Tổng thống Ấn Độ đã trao huy chương Fields - giải thưởng cao quý nhất trong lĩnh vực toán học cho GS Ngô Bảo Châu.

Đây là niềm tự hào của người Việt Nam nói chung, của thế hệ trẻ Việt Nam nói riêng, khi trí tuệ Việt vươn lên đỉnh cao của khoa học nhân loại và được khẳng định trên trường quốc tế.

Bà Pratibha Patil - Tổng thống Ấn Độ trao huy chương Fields - giải thưởng toán học cao quý nhất thế giới cho GS Ngô Bảo Châu.

Khi Đại hội Toán học thế  giới vừa xướng tên GS Ngô Bảo Châu đoạt giải Fields, những người có mặt như vỡ òa ra trong niềm vui khôn tả, tự hào vì người Việt Nam đã chinh phục được đỉnh cao của nền khoa học nhân loại.

Đằng sau sự thành công trong khoa học của GS Ngô Bảo Châu là sự đóng góp lớn lao, âm thầm của mẹ anh PGS.TS Trần Lưu Vân Hiền. Bà đã từng tâm sự với báo chí rằng: "Bổ đề cơ bản" là người bạn thân thiết của Châu suốt 15 năm qua, nhưng khi Châu chứng minh được bổ đề này thì nó lại là của mọi người, không còn là của riêng Châu nữa. Cô cũng vậy, mừng cho con nhưng thấy lòng một chút hụt hẫng, trống trải, Châu được nhiều người biết đến thì cảm giác không thuộc về riêng mình nữa"

GS Ngô Bảo Châu

Giải thưởng Fields được như Giải thưởng Nobel trong Toán học, bởi vì theo di chúc từ năm 1901 của người sáng lập Thụy Điển A. Nobel, Giải thưởng Nobel không dành cho Toán học. Thế nhưng Giải thưởng Fields lại chỉ được trao cho những thiên tài toán học phát lộ sớm, vì điều kiện tiên quyết của nó là chỉ trao cho những người không quá 40 tuổi vào năm trao giải.

Cứ bốn năm một lần, Giải thưởng Fields được trao tại các kì Đại hội Toán học thế giới và mỗi lần có không quá  4 người được nhận. Như vậy, tính bình quân, mỗi năm có tối đa một người được nhận Giải thưởng Fields. 
Trong 70 năm qua, 1936 - 2006, cả thế giới có tất cả 48 nhà toán học được trao Giải thưởng Fields. Mới chỉ có 11 nước vinh dự có  công dân của mình đạt Giải thưởng Fields. Đó là: Mỹ, Pháp, Nga, Anh, Nhật, Phần Lan, Italia, Thụy Điển, Đức, New Zealand và Úc, trong đó chỉ có 3 người có quốc tịch châu Á, đều là người Nhật và có hai người gốc Hong Kong - Trung Quốc là  Shing-Tung Yau (quốc tịch Mỹ ) và Terence Tao (quốc tịch Úc) đã được trao Giải thưởng Fields

Thần đồng toán học Terence Tao

2 tuổi Terence Tao đã dạy toán và tiếng Anh cho cậu bé 5 tuổi. 13 tuổi, anh là người trẻ nhất cho đến nay giành huy chương vàng trong lịch sử các kỳ thi toán quốc tế. Năm 1992, khi mới 20 tuổi, anh nhận bằng tiến sĩ toán học.

Theo thông báo của Hội Toán học Mỹ số tháng 5/2010, Terence Tao (người Australia gốc Hoa) và Enrico Bombieri (người Italia) cùng được trao giải thưởng năm 2010 của Quỹ Vua Faisal với số tiền thưởng chung xấp xỉ 200.000 USD. Giải thưởng khoa học này luân phiên dành cho các lĩnh vực toán học, hóa học, vật lý và sinh học.

Cả hai nhà toán học này trước đó đều đã được trao giải thưởng Fields, giải thưởng cao quý nhất trên thế giới dành cho các nhà toán học đặc biệt xuất sắc chưa quá tuổi 40 (người ta thường ví như giải Nobel dành cho toán học).

Thần đồng Toán học Terence Tao

Terence Tao đã bộc lộ năng lực toán học đặc biệt từ khi còn nhỏ và vì thế người ta gọi anh là thần đồng toán học, còn giáo sư John Garnett của ĐH Los Angeles, California (Mỹ) thì gọi anh là “Mozart của toán học”.

Sinh ngày 17/7/1975 tại Adelaide (Australia), bố mẹ đều là người Hoa, nhập cư từ Hong Kong vào Australia. Bố là bác sĩ nhi khoa, mẹ nhận bằng cử nhân tại ĐH Hong Kong và từng là giáo viên toán bậc trung học phổ thông.

Bố anh kể nhờ xem các chương trình truyền hình Sesame Street, Tao biết số và chữ. Trong một cuộc gặp mặt gia đình khi mới 2 tuổi, Tao đã dạy toán và tiếng Anh cho một cậu bé 5 tuổi.

Nữ giáo sư Miraca Gross, một chuyên gia nghiên cứu về giáo dục tài năng tại ĐH New South Wales (Australia), đã viết hẳn một bản luận văn về Tao. Trong đó bà nhắc lại một kỷ niệm đáng nhớ của Tao khi chưa đầy 4 tuổi: “Cậu bé làm nhẩm trong đầu phép tính nhân các số có 2 chữ số, trong khi tôi một người đến để phỏng vấn cậu ấy, lại cần đến bút và giấy để kiểm tra lại kết quả".

Bố của Terence Tao, ông Billy Tao, nói: “Nếu bạn chỉ nhanh chóng đi lên như một cái cột thì chắc chắn sẽ bị lung lay ở trên đỉnh và rồi đổ sụp xuống. Tôi có một mô hình kim tự tháp tri thức, với một cái nền rộng và sau đó kim tự tháp có thể lên cao hơn". Và Billy Tao đã sắp xếp cho các giáo sư toán học làm thầy dạy con mình. Nhờ đó mà Terence Tao đã có một sự nghiệp tuyệt vời.

Khi lên 8 tuổi Tao đã đạt 760 (trên 800) điểm môn Toán khi thi SAT và là một trong hai đứa trẻ duy nhất đạt trên 700 điểm trong lịch sử của chương trình nghiên cứu tài năng đặc biệt của Johns Hopkins. Từ năm lên 9 tuổi anh đã theo học các bài giảng toán học ở bậc đại học.

Năm 1986, khi mới 10 tuổi, lần đầu tiên anh đã tham dự kỳ thi vô địch toán quốc tế (IMO) và liên tục trong 3 năm 1986-1988 anh đều tham gia cuộc thi toán nổi tiếng nhất thế giới này dành cho học sinh trung học phổ thông xuất sắc, giành được huy chương đồng, bạc và vàng.

Năm 13 tuổi, anh là người trẻ nhất cho đến nay giành huy chương vàng trong lịch sử IMO. Tao tốt nghiệp đại học, nhận bằng thạc sĩ tại ĐH Flinders (Australia) năm 17 tuổi. Năm 1992 anh giành được học bổng Fulbright để làm nghiên cứu sinh tại ĐH Princeton (Mỹ) và nhận bằng tiến sĩ khi mới 20 tuổi. Năm 24 tuổi anh được phong giáo sư thực thụ (full professor) của ĐH Los Angeles và là giáo sư trẻ nhất trong lịch sử của trường đại học này cho đến nay.

Tạp chí NewScientist ngày 22/8/2006 viết Terence Tao là nhà toán học trẻ nổi tiếng đến mức mà nhiều nhà toán học trên thế giới đều muốn lôi cuốn anh về bài toán của mình và anh trở thành một trong những ông thợ giải toán hợp tác đắc lực với các đồng nghiệp trên thế giới. Giáo sư C. L. Fefferman, người được nhận giải thưởng Fields, nói: “Nếu bạn bị bế tắc trong một bài toán, một trong những cách giải quyết là tìm cách lôi cuốn Terence Tao".

Anh nghiên cứu nhiều lĩnh vực của toán học như giải tích điều hòa, phương trình vi phân đạo hàm riêng, tổ hợp, lý thuyết số, xử lý tín hiệu. Năm 2004, Ben Green và Terence Tao công bố một tiền ấn phẩm chứng minh sự tồn tại của cấp số cộng có độ dài bất kỳ của các số nguyên tố và nhờ đó anh được trao huy chương của Hội Toán học Australia

Năm 2006, khi mới 31 tuổi, tại đại hội toán học quốc tế lần thứ 25 ở Madrid, anh là một trong những người trẻ nhất, người Australia đầu tiên và là giáo sư đầu tiên của ĐH Los Angeles giành được giải thưởng Fields vì những đóng góp to lớn của anh cho lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, tổ hợp, giải tích điều hòa và lý thuyết số cộng tích.

Tao hiện là viện sĩ của Viện Hàn lâm khoa học Hoàng gia Anh, Viện Hàn lâm khoa học Australia, Viện Hàn lâm khoa học và nghệ thuật Mỹ... Terence Tao đang sống với vợ người Hàn Quốc Laura Kim Tao và con trai William Kim Tao tại Los Angeles (Mỹ).

Điều lý thú là giáo sư Vũ Hà Văn, học sinh chuyên Toán Trường THPT Chu Văn An (Hà Nội), là một người bạn thân của Terence Tao. Hai người đã cùng công bố 15 bài báo khoa học và cuốn sách chuyên khảo Additive Combinatorics (Tổ hợp cộng tính) được giới toán học đánh giá cao. Giáo sư Vũ Hà Văn sinh tại Hà Nội năm 1970 và là con của nhà thơ Vũ Quần Phương.

Vũ Hà Văn được phong giáo sư của ĐH Rutgers (Mỹ), được trao giải thưởng cao quý Polya của Hội Toán học công nghiệp và ứng dụng Mỹ (SIAM) và được phong giáo sư Việt Nam năm 2009.

Nguồn: http://vnexpress.net/

GS Vũ Hà Văn: Làm toán để hạnh phúc

Con trai nhà thơ đi làm toán

Trước khi được biết đến như một nhà toán học xuất sắc bậc nhất của Việt Nam hiện nay, Vũ Hà Văn được biết đến với tư cách là con trai nhà thơ Vũ Quần Phương. Bản thân Vũ Hà Văn cũng rất hâm mộ bố mình, thuộc nhiều thơ của bố, dù anh cho biết mình không thích đọc thơ bằng đọc văn xuôi!

“Tuy nhiên, nhờ có một người bố là nhà thơ mà trong nhà tôi đầy sách văn học, những người đến chơi nhà anh cũng toàn là bạn văn chương với bố. Sống trong một môi trường như thế, tôi cảm thấy trí tưởng tượng của mình được phát triển và điều này rất tốt cho tư duy toán học sau này của tôi”, Vũ Hà Văn nhận xét.

GS Vũ Hà Văn

Vũ Hà Văn được học chuyên toán từ nhỏ. Lên THPT, thoạt tiên anh học chuyên toán Chu Văn An (Hà Nội). Sau đó, Hà Nội mở trường THPT chuyên Hà Nội - Amsterdam, Vũ Hà Văn được chuyển về đấy. Anh yêu toán, nhưng rồi chỉ đoạt giải nhì kỳ thi học sinh giỏi quốc gia nên cũng không dám đặt nhiều ước vọng vào toán. Khi thi ĐH, Vũ Hà Văn chọn ngành kỹ thuật với mong muốn trở thành người… sửa TV. Nhưng số phận kéo Vũ Hà Văn quay lại với toán khi anh được nhà nước cử sang Hungari học ĐH.

Vũ Hà Văn kể, khi mới sang Hungari học ở Khoa Điện ĐH Bách khoa Budapes, anh được học với một bà giáo dạy toán hay ra các đề tài nghiên cứu nho nhỏ cho sinh viên. Lúc đó anh vẫn mê toán lắm nên rất hào hứng với các đề tài nhiên cứu ấy. Thậm chí, biết trường ĐH Tổng hợp Eotvos Lorand (Budapest)tổ chức một cuộc thi toán cho sinh viên, anh đã tham gia. Giải thưởng Vũ Hà Văn đạt được tuy không cao nhưng cũng là một kết quả đáng khích lệ với sinh viên không phải ngành toán. Thấy Vũ Hà Văn mê toán, bà giáo dạy toán của anh giới thiệu anh với chồng bà - một nhà toán học và là một viện sĩ rất có tiếng tăm ở Hungari. Ông ấy gặp Vũ Hà Văn một vài lần rồi khuyên anh chuyển sang học toán lý thuyết.

Sau một thời gian suy nghĩ, Vũ Hà Văn quyết định chuyển sang học Khoa Toán ĐH Tổng hợp Eotvos Lorand. “Hồi đó du học sinh Việt Nam ở Đông u có hai con đường: hoặc đi buôn, hoặc học hành chỉn chu. Nhu cầu về vật chất của tôi đơn giản lắm, học bổng nhà nước cấp đối với tôi là đủ, vì thế tôi không quan tâm chuyện đi buôn. Mối bận tâm của tôi lúc đó là được làm việc mình thích”, Vũ Hà Văn cho biết.

“Lấy người mình yêu và… không bỏ được”

Theo Vũ Hà Văn, muốn học khoa học cơ bản, người ta cần một chút mơ mộng. “Bản thân khoa học cơ bản rất khô khan, vì thế người học phải đam mê, có thế nó mới quyện vào mình và thành vật thể sống”, Vũ Hà Văn nói. Quả là tâm hồn Vũ Hà Văn phải lãng mạn thì mới dấn thân vào ngành toán khi mà thời điểm đó anh chưa nhìn thấy triển vọng sáng sủa nào cho tương lai cuộc đời mình. Nhưng rồi Vũ Hà Văn dần dần có được sự tự tin khi mà liên tục lọt vào nhóm đầu lớp, giữa những sinh viên Hungari vốn nổi tiếng là giỏi toán và thông minh. Cú hích quan trọng trong sự nghiệp làm toán của anh là chuyến đi dự hội thảo ở trường ĐH Cornell - Mỹ khi anh đang là sinh viên năm 4. Lần đầu tiên được dự một hội thảo khoa học quốc tế khiến Vũ Hà Văn phấn chấn. Anh bắt đầu cảm nhận được hơi thở của đời sống giới nghiên cứu và muốn thưởng thức đời sống đó.

Tốt nghiệp ĐH Eotvos, Vũ Hà Văn sang Mỹ làm tiến sĩ tại ĐH Yale rồi ở lại làm việc trong các viện nghiên cứu, các trường ĐH lớn của Mỹ. Cộng đồng toán học thế giới đã ghi nhận anh bằng nhiều giải thưởng, hoặc vị trí quan trọng. Năm 2002 anh được giải thưởng Sloan. Năm 2003 đoạt giải thưởng NSF Career Award dành cho các nhà toán học trẻ tuổi tại Mỹ. Năm 2007 làm chủ nhiệm chương trình “Số học tổ hợp” của Viện Nghiên cứu cao cấp Princeton. Năm 2008 đoạt giải thưởng Polya cuả Hội Toán học ứng dụng Mỹ, trao 2 năm một lần. Năm 2012 anh đoạt giải thưởng Fulkerson - giải thưởng dành cho các công trình xuất sắc trong lĩnh vực toán học rời rạc, do Hội Toán tối ưu thế giới và Hội Toán học Mỹ trao tặng 3 năm một lần, bắt đầu từ năm 1979. Giới toán học Việt Nam, ngoài GS Ngô Bảo Châu với giải thưởng Fields danh giá bậc nhất, được cộng đồng toán quốc tế ghi nhận ở tầm cỡ như giải thưởng Polya hay Fulkerson đến giờ cũng mới chỉ có Vũ Hà Văn.

Tiếp xúc với Vũ Hà Văn, cảm nhận chung là anh rất dí dỏm, luôn vui vẻ dù rất kiệm lời như đa số nhà toán học. “Đi Tây” từ năm 17 tuổi rồi ở miết bên đó nhưng anh vẫn có phong thái của một công dân Hà Nội “xịn”. Anh vẫn đi lại trong thành phố bằng xe máy, thỉnh thoảng mới gọi taxi nếu trời nắng quá. Có lẽ vì thế mà anh có điều kiện quan sát, nắm bắt được nhiều thực tế sôi động của thành phố nhộn nhạo bậc nhất thế giới này qua những lần về nước ngắn ngủi. Những thực tế đó đã được phả vào blog của anh, qua giọng văn hài hước, dù anh viết blog chủ yếu để giới thiệu kiến thức toán.

Có lần Vũ Hà Văn giới thiệu với bạn đọc một công trình nghiên cứu được giải Nobel kinh tế 2012 mà trong đó sử dụng toán ứng dụng. Tên bài toán “Stable Marriage”, nghĩa là “Hôn nhân bền vững” nhưng được Vũ Hà Văn “dịch” thành “Lấy người mình yêu và… không bỏ được”.

Ở một bài khác, để giới thiệu định lý Birkhoff, Vũ Hà Văn dẫn nhập: “Khi bé, bạn đi nhà trẻ. Lớn lên, bạn phải lấy vợ. Kiểu gì cũng không tránh được, trừ các vĩ nhân”. Rồi anh so sánh chuyện hôn nhân xưa với nay và đặt ra một thách thức “thời đại”: Phải lấy người mình yêu, chà! “Trớ trêu, người bạn yêu (như Angelina Jolie) thì vô số bạn yêu. Thế mới cáu!”. Dù chẳng biết gì về toán, bạn đọc cũng có thể hiểu rằng để không phải đấu kiếm với ai đó nhằm giành giật mỹ nhân duy nhất thì không nên tuyệt đối hóa vấn đề mà cần (điều kiện đủ) mở rộng danh sách người mình muốn lấy. Với cách này, rốt cục ai cũng sẽ lấy được người mình yêu (ai cũng thấy hài lòng) và toán học đã chứng minh được điều đó. Nhiều bạn đọc blog của Vũ Hà Văn thốt lên: Toán khô khan vậy mà sao anh viết duyên thế, vui thế!.

Nguồn: http://www.thanhnien.com.vn/

Lịch sử con số Pi

Những con số lẻ của số Pi quyến rũ Con số PI quyến rũ Số Pi là tên của chữ thứ  16 của mẫu tự Hy lạp. Nó được định nghĩa như một hằng số , là tỷ số giữa chu vi vòng tròn và đường kính của nó. Tên pi  do chữ peripheria (perijeria) có nghĩa là  chu vi của vòng tròn. Nhưng nó  không  có tên chính xác, thường người ta  gọi là  p, c, hay p  Chữ  p được dùng  vào khoảng  giữa thế kỷ thứ 18, sau khi Euler xuất bản cuốn chuyên luận phân tích năm 1748. Ý định dùng ký hiệu  p là để tưởng nhớ đến những nhà Toán học Hy Lạp là những người tìm ra đầu tiên con số gần đúng của  pi Cuối thế kỷ thứ 20 số Pi đã tính với độ chính xác tơi con số thứ 200 tỉ (200 000 000 000) 11 tháng  9 năm  2000: con số lẻ thứ một triệu tỉ là số không (1.000.000.000.000.000)   Con số Pi tóm tắt một lịch sử về toán học cổ xưa hơn 4000 năm bao trùm Hình học phân tích hay Ðại số. Các nhà Toán học đã hâm mộ nó từ thời Văn minh Cổ-đại và đặc biệt những người Hy Lạp trong vấn đề hình học. Tri giá xưa nhất về con số Pi mà con người đã dùng và đã được chứng nhận từ một tấm bảng của người Babylone cổ xưa (thuộc xứ I răc) có chữ hình góc (écriture cunéiforme), được khám phá năm 1936 và tuổi của tấm bảng là 2000 năm trước Thiên Chúa. Người Ba-bi-lôn tính được con số Pi bằng cách so sánh chu vi của một vòng tròn với đa giác nội tiếp trong vòng tròn đó, bằng 3 lần đường kính vòng tròn. Họ tính phỏng chừng: Pi = 3 + 1/8 (tức là 3,125) Về sau, những công trình nghiên cứu liên tục: * Archimède tính được số Pi = 3,142 với độ chính xác là 1/1000. Công thức là: 3 + 10/71 < Pi < 3 + 1/7 Người ta dùng phương pháp Archimède trong 2000 năm. * Trong Thánh Kinh, khoảng 550 trước TC, đã giấu con số này trong một câu văn mà sau bao nhiêu bộ óc tò mò tìm kiếm mới ra con số Pi = 3,141509 * Khoảng năm 1450, Al'Kashi tính con số Pi với 14 con số lẻ nhờ phương pháp đa giác của Archimède Ðó là lần đầu tiên trong lịch sử nhân loại đã tìm được con số Pi với trên 10 số lẻ. * Năm 1609 Ludolph von Ceulen nhờ phương pháp của Archimède, đã tính được con số Pi với 34 số lẻ mà người ta đã khắc số này trên mộ bia của ông. * Kế tiếp Ludolph von Ceulen nhờ những công trình nghiên cứu miệt mài của các nhà Toán học: Newton(1643-1727) Leibniz(1646-1716) Grégory (1638-1675) Euler(1707-1783) Johann Heinrich Lambert (1728-1777) Adrien-Marie Legendre (1752-1833) Carl Louis Ferdinand von Lindemann (1852-1939) Srinivasa Aiyangar Ramanujan (1887-1920) Williams Shanks (1812-1882) đã tính năm 1874 với 707 số lẻ  Phải đợi đến thế kỷ thứ 18 và đầu thế kỷ thứ 20 thì số Pi đã được tính với độ chính xác là 1000 số lẻ. Ngày 19 tháng 9 năm 1995 lúc 0 giớ 29 phút giờ địa phương GMT-04, nhà Toán học Gia Nã Ðại Simon Plouffe đã khám phá cùng với sự hợp tác của Peter Borwein và David Bailey một công thức tính con số Pi đã làm đảo lộn một số ý kiến về số Pi được tính từ trước đến nay. Công thức này được đặt tên là Công thức BBP cho phép tính các số lẻ của Pi độc lập với nhau, mà mọi người lúc bấy giờ tưởng là không thể tính các số lẻ một cách độc lập được.  Fabrice Bellard tìm ra hôm thứ hai ngày 22 tháng 9 năm 1997 đã chiếm kỷ lục kiếm tới số lẻ thứ một ngàn tỉ cho con số Pi nhờ công thức BBP của Plouffe và nhờ tự nghiên cứu ra cách tính nhanh hơn. Kỷ lục hiện tại do Colin Percival đạt đến số lẻ thứ bốn mươi ngàn tỉ hôm thứ ba tháng 2 năm 1999 bằng cách dùng công thức của Bellard 11 tháng  9 năm  2000: con số lẻ thứ một triệu tỉ là số không (zero): (một triệu tỉ =1.000.000.000.000.000

Lịch sử của toán trong kinh tế học

Sự ứng dụng của toán trong kinh tế không phải là một hiện tượng mới.  Thật ra toán đã đóng vai trò đáng kể trong kinh tế học trên dưới một thế kỷ nay mặc dù các thuyết kinh tế cổ điển (classical economics) đã được phát triển và hệ thống hoá mà không cần dùng toán.  Lấy thí dụ, hai kinh tế gia cổ điển lớn nhất, Adam Smith và David Ricardo, chỉ dùng thí dụ bằng số để minh hoạ các lý thuyết của mình.  Họ phối hợp các quan sát thực tế một cách phi toán với các lý luận suy diễn về liên hệ nhân quả để giải thích hệ thống kinh tế làm việc như thế nào.  Ngay trong công trình của các kinh tế gia cổ điển vĩ đại cuối cùng như John Stuart Mill và Karl Marx, công thức toán hay đồ thị cũng chỉ là một loại tốc ký hay phương cách trình bày mà thôi.  Một ngoại lệ đáng kể là thuyết dân số của Thomas Malthus (1798) trong đó Malthus lập luận rằng dân số tăng theo cấp số nhân trong khi thực phẩm chỉ tăng theo cấp số cộng.

Ngày nay, phần lớn các nhà kinh tế đồng ý rằng Augustin Cournot, triết gia và toán gia Pháp, xứng đáng nhận lãnh danh hiệu “cha đẻ của kinh toán học”.  Cournot (1838) được coi là khai sinh ra kinh toán học vì ông đã hệ thống hoá sự ứng dụng ký hiệu, công thức và lý luận toán trong kinh tế.  Sau thời Cournot, hầu hết các kinh tế gia danh tiếng đều phải sử dụng toán, không ít thì nhiều, trong việc phát triển và truyền đạt các lý thuyết của mình.  Cournot được xem là một trong những kinh tế gia đầu tiên đã thành công trong việc thành lập một lý thuyết giá trị nhất quán qua các phân tích về tiêu thụ.  Một vài đóng góp cụ thể của ông cho kinh tế gồm có: ý niệm hàm và xác xuất trong phân tích kinh tế, hàm cầu, hàm cung, thuyết độc quyền và lưỡng độc quyền (duopoly).  Cũng nên nhắc là thuyết lưỡng độc quyền của Cournot đánh dấu bước đầu nghiêm túc của thuyết trò chơi và giải pháp của Cournot là một hình thức hạn chế của cân bằng Nash.

Các công trình của Cournot đánh dấu sự chuyển đổi từ kinh tế cổ điển qua kinh tế tân cổ điển (neoclassical economics) (xem Hildenbrand, 1982).  Cả hai thuyết đều quan tâm đến sản xuất, phân bố, trao đổi và tiêu thụ của cải (của cải theo nghiã hàng hoá).  Các kinh tế gia cổ điển chú ý đến sản xuất và phân phối của cải qua thời gian.  Họ nhấn mạnh tỷ lệ tăng truởng dân số và nguồn lực vật chất, và xem xét hậu quả của các nhân tố này lên tiến bộ kinh tế cũng như phúc lợi của nhân dân và xã hội.  Các kinh tế gia tân cổ điển ít quan tâm đến các khiá cạnh động.  Thay vào đó, họ đặt câu hỏi: “trong một nền kinh tế với dân số có sở thích, nguồn lực và kỹ thuật cho sẵn, làm sao các nguồn lực có thể phân phối qua một hệ thống thị trường để cực đại hoá sự thoả mãn của người tiêu thụ?”  Dùng thuật ngữ kinh tế ngày nay, sự chuyển đổi từ kinh tế cổ điển qua tân cổ điển là sự xê dịch từ phân tích kinh tế vĩ mô sang vi mô.  Đường hướng mới này (xem vấn đề quyết định cá nhân như một vấn đề tối ưu) có thể giải quyết một cách toán học bằng phương pháp giải tích.  Walras (1874) lý luận: “Chỉ có toán mới có thể giúp chúng ta hiểu ý nghiã của điều kiện hữu dụng tối đa (maximum utility).”

Kinh tế tân cổ điển khởi đầu với ba kinh tế gia: Stanley Jevon (Anh), Carl Menger (Áo) và Léon Walras (Pháp).  Ba kinh tế gia này thường được xem là ông tổ của “Cách mạng Biên tế” (Marginalist Revolution).  Danh từ biên tế liên quan đến kết quả toán của điều kiện biên tế cho cân bằng thị trường.  Quan trọng nhất trong ba kinh tế gia này là Walras, người được Joseph Schumpeter (1954: 827) xưng tụng là “kinh tế gia vĩ đại nhất”.  Lý do Walras được gọi như vậy là vì Walras (1874) đã khám phá ra lý thuyết cân bình tổng thể (general equilibrium theory).  Thuyết này giải thích quân bình của một hệ thống kinh tế thị trường qua quá trình điều chỉnh giá cả mà trong đó các tác nhân kinh tế riêng rẽ không thể ảnh hưởng lên giá thị trường.  Nói tóm gọn, Walras đã xếp đặt một chương trình nghiên cứu mà rất nhiều kinh tế gia thế kỷ 20 đã theo đuổi.  Cùng với học trò là Vilfredo Pareto, Walras sáng lập trường phái Lausanne, có thể xem là trường phái kinh toán đầu tiên trên thế giới.[2]

Từ khi kinh tế tân cổ điển xuất hiện đến nay, phấn lớn những đóng góp quan trọng nhất cho lý thuyết kinh tế là từ kinh tế gia có đầu óc toán học.  Những kinh tế gia này dều xem toán là cần thiết và không thể thiếu.  Hai ngoại lệ đáng chú ý là hai kinh tế gia Anh, Alfred Marshall và John Maynard Keynes.  Marshall học và dạy toán tại Cambridge, trước khi chuyển sang kinh tế.  Tuy Marshall đã mang tính nghiêm túc của toán vào kinh tế, ông tỏ vẻ nghi ngờ vai trò của toán trong kinh tế.  Ông cho rằng các biến số thật trong đời sống quá nhiều và hổ tương với nhau (interrelated) do đó (i) các cố gắng toán hoá sẽ làm vấn đề quá phức tạp, không nghiên cứu được, và (ii) nếu phải bỏ sót để vấn đề có thể phân tích được, thì lời giải thích sẽ trở thành thiếu thực tế.  Trong sáchNguyên lý Kinh tế, Marshall (1890) giới hạn lý luận toán vào chú thich cuối trang, do ddó các lập luận trong văn bản đều là bằng lời.  Khá nhiều kinh tế gia cho rằng (i) Marshall không hoàn toàn thành thật khi phê bình như vậy, và (ii) thật ra muốn hiểu các lập luận của Marshall thật sâu người đọc phải biết nhiều hơn về toán hơn là Marshall thừa nhận (xem Hildenbrand, 1982: 66).

Keynes, giống như Marshall, ban đầu được đào tạo để trở thành một nhà toán học và cũng nghi ngờ vai trò của toán trong kinh tế.  Keynes chỉ dùng một ít toán và lý luận rằng khả năng của toán trong việc thu hút nội dung của kinh tế rất là hạn chế.  Việc này dễ hiểu được vì quan tâm chính của Keynes là chính sách kinh tế và một kinh tế gia muốn phát biểu các dề xuất cho các vần đề kinh tế khẩn cấp, phải dùng ngôn ngữ càng ít toán càng tốt.  Nhưng cũng vì thế mà công trình vĩ đại nhất của Keynes (1936) có nhiều chỗ không rõ ràng và mâu thuẫn (có lẽ vì Keynes thay đổi các giả thiết ẩn tàng từ chương này qua chương khác).  Dù sao Keynes cũng dặt nền móng cho kinh tế vĩ mô hiện đại và mở màn cho một chương trình nghiên cứu thúc đẩy vai trò của toán trong kinh tế và ứng dụng của toán trong các công trình thực nghiệm.

Trong thế kỷ 20, các công trình kinh toán to lớn nhất xuất hiện sau Thế chiến Thứ hai.  Trong phạm vi bài này, tôi chỉ xin nêu ra, một cách ngắn gọn, ba thí dụ tiêu biểu nhất.  Thứ nhất, Paul Samuleson, lý thuyết gia kinh tế lỗi lạc nhất của thế kỷ 20.  Samuelson (1947) được nhiều người xem là cha đẻ của kinh toán học hiện đại qua cuốn sách Nền tảng của Phân tích Kinh tế.  Cuốn sách này, rút ra từ luận án tiến sĩ năm 1941 của Samuelson, dùng ngôn ngữ toán nghiêm túc thống nhất các thuyết kinh tế bằng một vài nguyên lý cơ bản, và đặt nền tảng cho các nghiên cứu kinh toán hiện đại.  Nhờ ảnh hưởng của Samuleson, trọng tâm nghiên cứu kinh toán học đã dần chuyển từ Âu châu sang Bắc Mỹ.

Thí dụ thứ nhì là mô hình cạnh tranh hoàn hảo Arrow–Debreu–McKenzie (ADM), dựa trên các công trình của Arrow & Debreu (1954) và Lionel McKenzie (1954).  Mô hình ADM là mô hình trung tâm của lý thuyết cân bình tổng thể và thường được dùng làm một tham khảo tổng quát cho các mô hình kinh tế vi mô khác.  So sánh với các mô hình trước đó, mô hình ADM dùng một ý niệm hàng hoá rất tổng quát, phân biệt hàng hoá bằng không gian lẫn thời gian.  Dưới một số giả thiết nhất định, Arow và Debreu đã dùng vị tướng học (topology), thay vì giải tích, để chứng minh sự hiện hữu của một cân bình tổng thể của thị trường cạnh tranh hoàn hảo (tức là cân bình Walras).  Điều đáng chú ý là Debreu từng là một thành viên của nhóm toán gia lừng danh Bourbaki và đã dùng phương pháp tiên đề trong các nghiên cứu kinh tế của ông.

Thí dụ thứ ba là lý thuyết trò chơi.  Tuy có nhiều người đã thảo luận một số ý niệm về thuyết trò chơi trước đó, nhà bác học von Neumann thường được xem là cha đẻ của thuyết trò chơi vì ông đã phát triển khá hoàn hảo và phổ thông hoá thuyết này (xem von Neumann và Morgenstern, 1944).  Von Neumman đề xuất thuyết trò chơi như một thứ ngôn ngữ mới dùng để biểu diễn và giải quyết các vấn đề kinh tế một cách chính xác.  Lối tư duy mới này nhấn mạnh sự tương tác chiến lược giữa các tác nhân kinh tế (cá nhân, doanh nghiệp, chính phủ, vv).  Như vậy, lý thuyết cân bình tổng thể có thể xem là một trường hợp đặc biệt của thuyết trò chơi.  Tác phẩm chung của von Neumann và Morgenstern đã cách mạng hoá bộ môn kinh tế và nghiên cứu trong kinh tế.  Tuy rằng cuốn sách này viết riêng cho các nhà kinh tế, sự ứng dụng của thuyết trò chơi trong tâm lý học, xã hội học, chính trị học, chiến tranh, các trò chơi giải trí, v.v. trở nên rõ ràng khá nhanh sau đó.

Ngoài von Neumann, nhiều toán gia khác cũng tìm cách ứng dụng toán thuần lý vào lĩnh vực kinh tế trong hậu bán thế kỷ 20.  Nổi tiếng nhất có lẽ là toán gia Steve Smale, người thắng Huy chương Field năm 1966 (một phần vì đã chứng minh Ước đoán Poincaré cho trường hợp n ³ 5).  Smale đã đóng góp rất nhiều cho lý thuyết kinh tế trong thập kỷ 1970.  Ông đã thành công trong việc mang giải tích toàn bộ, vị tướng học và động học vào những nghiên cứu về cân bình kinh tế tổng quát.

Để có một cái nhìn khách quan và toàn diện hơn, chúng ta cũng nên xét qua vài thí dụ về các ứng dụng toán không thành công lắm trong kinh tế.  Hai thí dụ tiêu biểu nhất có lẽ là thuyết tai biến (catastrophe theory) và thuyết hỗn độn (chaos theory).  Sau nhiều thập kỷ phát triển dần dần, thuyết tai biến chính thức xuất hiện vào đầu thập kỷ 1970 qua những công trình đột phá của René Thom (1969).[3]  Sau đó, thuyết tai biến đã được áp dụng trong khá nhiều nghiên cứu kinh tế, thí dụ như thị trường chứng khoán, thị trường độc quyền, chu trình kinh tế, mô hình lạm phát, đầu cơ hối suất, thuyết tăng trưởng, kinh tế thành phố và vùng, kinh tế sinh thái, vv (xem Rosser 2007).  Vào cuối thập kỷ 1970, nhiều tác giả bắt đầu chỉ trích sự lạm dụng của thuyết tai biến (không phải chỉ trong kinh tế) vì ba lý do chính như sau: (i) thuyết tai biến dựa quá nhiều trên các phương pháp định tính, (ii) nhiều ứng dụng đòi hỏi các định lượng hoá giả mạo hay phương pháp thống kê không thích hợp, và (iii) rất nhiều mô hình không thoả những điều kiện toán cần cho thuyết tai biến.  Cũng vì thế mà trong thập kỷ 1990, gần như không có bài nghiên cứu nào đăng trong các tạp chí kinh tế hàng đầu dám nhắc đến thuyết tai biến.  Ngày nay, phần đông các nhà kinh tế có một cái nhìn đúng đắn và lạc quan hơn về thuyết tai biến.  Tuy không phải là kỹ thuật tổng quát có thể dùng cho mọi trường hợp, thuyết tai biến vẫn đóng một vai trò nhất định nào đó trong việc nghiên cứu hiện tượng bất liên tục động trong kinh tế (Roser 2007).

Giống như thuyết tai biến, thuyết hỗn độn có nguồn gốc sâu xa từ những công trình nghiên cứu về toán và cơ học thiên thể của “toán gia phổ quát cuối cùng” Henri Poincaré vào cuối thế kỷ 19.  Poincaré nhận thấy rằng các hệ thống xác định, động, phi tuyến, đơn giản (simple nonlinear dynamic deterministic systems) dưới một số điều kiện nào đó tiến hoá một cách có vẻ như ngẫu nhiên, phức tạp.  Những hệ thống này rất nhạy cảm với điều kiện ban đầu và do đó dự đoán dài hạn với bất kỳ độ chính xác nào đòi hỏi các điều kiện ban đầu được định rõ tới mức chính xác vô cực.  Bắt đầu từ giữa thập kỷ 1970, thuyết hỗn độn đã được áp dụng vào rất nhiều lĩnh vực kinh tế khác nhau (xem Baulmol & Benhabib 1989).  Ứng dụng của thuyết hỗn độn trong kinh tế gây ra vài trở ngại chính như sau.  Thứ nhất, sự có mặt của hỗn độn làm dự đoán dài hạn không khả thi, và người dự báo sẽ phải trả giá cực kỳ cao nếu chỉ muốn tăng tầm xa dự báo lên chút ít.[4]  Tính không dự đoán dài hạn này cũng trái ngược với giả thiết kỳ vọng hợp lý (rational expectations), một ý niệm cơ bản trong các lý thuyết kinh tế hiện đại.  Thứ hai, quan trọng hơn, các nhà nghiên cứu chưa tìm được bằng chứng có tính thuyết phục về sự hiện diện của hỗn độn xác định trong các chuỗi dữ kiện kinh tế thời gian.  Nếu như thế, các nhà kinh tế có nên tiếp tục bỏ công sức vào thuyết hỗn độn hay nên khảo sát các dạng động lực phi tuyến khác với khả năng tiên đoán tốt hơn?  Tuy nhiên, thuyết hỗn độn nói chung không bị các nhà kinh tế tránh né như thuyết tai biến.  Một số nhà kinh tế cho rằng thuyết hỗn độn vẫn cần cho lý thuyết kinh tế, nhưng các dụng cụ và phương pháp nghiên cứu phải khác hơn những kỹ thuật dùng trong quá khứ

Toán học và thế giới chúng ta

Chúa đã tạo ra các số nguyên; tất cả còn lại là tác phẩm của con người.

Leopold Kronecker

 

Chân dung của Archimedes trên huân chương Fields.

Toán học bắt đầu thời kỳ xa xưa của lịch sử văn minh nhân loại: Euclid đã viết quyển “Elements” (Cơ sở, của hình học Euclid) tại thành phố Alexandria 300 năm trước Công nguyên, Archimedes đã tìm ra những phép tính diện tích, thể tích, và phép tính xấp xỉ số p  thế kỷ thứ 3 trước CN, nếu không muốn kể những người Ai Cập và Babylon đã có khả năng làm toán khoảng 3.000 năm trước CN. Người Ai Cập được xem như người phát minh ra môn hình học. Pythagoras của Samos, người phát minh định lý Pythagore, sống đầu thế kỷ thứ 6 trước Công nguyên. Ấn Độ và Trung Quốc cũng có toán học rất sớm.

Sau một đêm dài Trung cổ toán học sống lại và phát triển mạnh mẽ. Galilei có lẽ là người đầu tiên tiếp sức cho nó rất đáng kể. Ông ví vũ trụ như một quyển sách lớn mà nếu ta không biết ngôn ngữ của nó thì không thể nào đọc được:

Triết học được viết vào một quyển sách lớn của vũ trụ, và nó thường xuyên được mở ra trước mắt chúng ta. Nhưng người ta không thể hiểu được quyển sách này, nếu trước tiên không hiểu được ngôn ngữ của nó và biết giải mã bộ ký tự mà nó đã được viết nên. Nó được viết bằng ngôn ngữ của toán học, và các ký tự của nó là các tam giác, vòng tròn và cách hình thể hình học khác, mà nếu không có chúng không ai có thể hiểu được một chữ trong đó; không có chúng người ta mò mẫm như trong một mê lộ tối tăm.

Galileo Galilei

(Xin xem thêm “400 năm thiên văn và Galilei”, nxb Tri Thức, 2009)

 Câu nói này của Galilei thường được nhắc lại trong thế kỷ 20 khi con người có những khám phá vượt bậc, đặc biệt khi thuyết tương đối rộng của Einstein ra đời trên khung hình học.

Thế giới của virtuosi (khoa học gia nghệ nhân). Xác định chiều cao bằng “squadra”. Ảnh từ Niccolò Tartaglia, La Nova Scientia

Toán học thời Galilei là hình học, là “các tam giác, vòng tròn và các hình thể hình học khác…”. Nhưng chỉ 50 năm sau ngày mất của Galilei, ngôn ngữ của toán học để hiểu tự nhiên đã trở thành toán vi tích phân, được phát minh ra bởi Newton và Leibniz ở thế kỷ 17 (những ký hiệu trong toán vi tích phân được sử dụng ngày nay là từ Leibniz). Trước đó Descartes đã phát triển hình học, đại số và hình học giải tích để giúp Newton phát triển toán của mình. Toạ độ “Cartesian” chúng ta thường nghe thấy chính là toạ độ mang tên ông, tên viết theo tiếng La tinh.

Toán học thời Maxwell tiếp theo đó là toán học phương trình vi phân (kể cả phương trình đạo hàm riêng) để mô tả sóng điện từ và ông tiên đoán có loại sóng này được truyền với vận tốc ánh sáng. Heinrich Hertz sau đó phát hiện loại sóng này bằng thí nghiệm. Rồi toán học của Boltzmann là toán xác suất để hiểu các hiện tượng vi mô bằng định luật thống kê. Toán học thời Einstein là hình học Riemann và phương trình vi phân. Toán học thời thuyết lượng tử cũng là phương trình vi phân (phương trình sóng của Schrödinger).

Toán học thời Trung cổ được các kỹ sư nghệ nhân sử dụng nhiều trong xây dựng. Không có nó, không thể tính toán xây dựng các nhà thờ như những kỳ quan kiến trúc. Nói chung, toán học dần dần thâm nhập vào toàn bộ khoa học và công nghệ ngày càng mạnh mẽ. Từ vị trí thấp kém là “con tì” của các ngành khoa học khác, kể cả của triết học, thần học, toán học đã trở thành “nữ hoàng” của các ngành khoa học. Bức tranh của thế giới dần dần được điều chỉnh và minh xác khỏi các tư biện của các nhà triết học cổ đại như Platon, Aristoteles, khỏi ảnh hưởng của nhà thờ. Galilei là người đã dùng toán học và thí nghiệm để chống lại cả thời đại kinh điển của ông. Không có toán học, thế giới khó ra khỏi đêm dài của tư biện thuần túy.

 

Albert Einstein

Kỹ thuật hiện đại đã đem lại những tiện nghi cho con người, tất cả đều bắt nguồn từ vật lý và toán học, mà toán học lại là nền tảng cơ bản.

 

Wilhelm von Humboldt trong chương trình cải cách giáo dục và giáo dục đại học của ông năm 1810, tức đúng 200 năm trước, cũng lấy toán học làm điểm tựa để phát triển tư duy của học sinh, sinh viên.

Năm 2000 chương trình cải cách giáo dục của Mỹ “No Child Left Behind”cũng nhấn mạnh việc đào tạo toán học làm trang bị căn bản cho học sinh sinh viên trong thế kỷ 21 trước cuộc cạnh tranh toàn cầu hóa.

Đại học, hay Quốc tử giám, của Việt Nam vốn tồn tại khoảng 900 năm, cũng đúng vào thời kỳ đại học xuất hiện ở châu Âu thời Trung cổ, nhưng chương trình học của ông cha Việt Nam là hoàn toàn không có môn toán học, lôgic học như ở phương Tây.

Cách đây không lâu (2005), nhà vật lý học vũ trụ Stephen Hawking đã cho xuất bản một quyển sách dầy cộm hơn ngàn trang với tiêu đề “Chúa đã tạo ra các số nguyên”, mượn một câu nói của nhà toán học Đức Leopold Kronecker thế kỷ 19 ("God made the integrers; all else is the work of man"), trong đó Ông đăng lại những tác phẩm chính của các nhà toán học trong khoảng thời gian gần 2500 năm, từ Euclid, Archimedes, Diophantus, đến Descartes, Laplace, Newton, Fourier, Gauss, đến Cauchy, Boole, Riemann, Weierstrass, Dedekind, đến Cantor, Lebesgue, Gödel và Turing. Ông viết: “Cuốn sách này là một sự vinh danh các nhà toán học đã giúp chúng ta tiến bước trong sự hiểu biết về thế giới, và là những người dọn đường cho thời đại của khoa học và công nghệ chúng ta.” Ông viết tiếp: “Qua nhiều thế kỷ, nỗ lực của các nhà toán học này giúp nhân loại đạt được sự hiểu biết vĩ đại về tự nhiên, như nhận thức rằng trái đất là hình tròn, rằng cùng một lực đã gây hiện tượng trái táo rơi xuống đất cũng như tạo ra các chuyển động của thiên thể, rằng không gian là hữu hạn và không bất diệt, rằng thời gian và không gian quyện vào nhau, và cuốn lại bởi năng lượng và vật chất, rằng tương lai chỉ có thể được xác định một cách xác suất. Những cuộc cách mạng như chúng ta đã quan về niệm thế giới luôn luôn đi tay trong tay với các cuộc cách mạng trong tư duy toán học”. Trong phần kết luận ông nói: “Giống như trong quá khứ, những phát triển tương lai trong toán học chắc chắn sẽ tác động, trực tiếp hay gián tiếp, đến cách chúng ta sống và suy nghĩ. Các kỳ quan của thế giới cổ đại là vật chất, như các kim tự tháp của Ai Cập. Như quyển sách này minh hoạ, kỳ quan lớn nhất của thế giới hiện đại là sự h iểu biết của chúng ta.”

Konrad Zuse (1910-1995) xây dựng từ 1931-1945 những chiếc máy tính đầu tiên tại Berlin.

Có thể chúng ta quên đi toán học khi học xong để làm những ngành nghề khác. Nhưng toán học giúp chúng ta hình thành suy nghĩ lôgíc. Câu nói sau đây trong ngành giáo dục Đức thường được trích dẫn: “Giáo dục là cái mà người ta còn giữ lại sau khi đã quên đi hết những điều đã học”. Hơn bao giờ hết, người Việt Nam cần học toán học để hình thành cho mình lối suy nghĩ lôgíc đó, và để giải quyết các vấn đề cụ thể trong nghề nghiệp hay cuộc sống, cũng như để bớt những sự hư cấu, hoang tưởng. Có lẽ một phần vì thiếu căn bản tư duy lôgíc, nên xã hội đã sinh ra những tư duy dỏm mà vẫn cho rằng mình “nhất thiên hạ”, khiến cho xã hội trì trệ, tắc nghẽn.

Trong khuôn khổ này, có lẽ nhận định lịch sử sau đây của F. Nietzsche về khả năng tư duy lôgíc của châu Âu và châu Á là đáng chú ý:

Trường học không có nhiệm vụ nào quan trọng cho bằng nhiệm vụ dạy cách tư duy chặt chẽ, phán đoán thận trọng và kết luận lôgic. Cho nên trường học phải loại bỏ tất cả những gì không thích hợp với các thao tác này, thí dụ như tôn giáo⁽¹⁾. Nó phải dự trù rằng sau này sự mơ hồ của con người, thói quen và ham muốn sẽ làm giảm đi khả năng tư duy chặt chẽ. Tuy nhiên bao lâu ảnh hưởng của nó còn cho phép, trường học cần phải dạy cho được điều cơ bản và trội bật ở con người sau đây: "Lý tính và Khoa học, như khả năng tri thức cao nhất của con người" ⁽²⁾ như ít nhất Goethe nhận định. – Nhà nghiên cứu khoa học tự nhiên von Baer nhận thấy tính ưu việt của người châu Âu so với người châu Á về năng lực được giáo dục ở nhà trường, rằng họ có thể đưa ra những lý lẽ để biện minh cho điều họ tin, trong khi những người kia hoàn toàn không có khả năng. Châu Âu đã trải qua trường học của tư duy lôgic và có tính phê phán, trong khi châu Á vẫn chưa phân biệt được giữa Sự thật và Thi ca⁽³⁾, và chưa ý thức được sự tin tưởng của mình có phải là kết quả từ sự quan sát riêng và cách tư duy đúng đắn, hay là từ những sự tưởng tượng (phantasy). Lý tính trong trường học đã làm cho châu Âu trở thành châu Âu: trong thời Trung cổ nó đã có nguy cơ biến thành một mảnh đất và một phần phụ thuộc của châu Á – nghĩa là mất mát tinh thần khoa học mà nó đã học được từ những người Hy Lạp.

Friedrich Nietzsche

Trong bài “Lý tính trong trường học” (Die Vernunft in der Schule)

 

Việt Nam quả đang đau khổ vì sự thâm thụt trầm trọng về lý tính, đặc biệt trong tư duy chính trị. Người ta dễ dàng khẳng định những cái chưa bao giờ chứng minh được bằng thực nghiệm hay bằng lôgíc, hay ngay cả khi điều muốn chứng minh đã nhận được những phản thí dụ ngó thấy. Việt Nam chưa phải là trường học của lý tính.

Newton đã để lại lịch sử tấm gương khiêm tốn tuyệt vời khi ông nói câu nói bất hủ mà hậu thế hôm nay vẫn còn lắng nghe: “Tôi không biết người ta sẽ nghĩ gì về tôi, nhưng đối với tôi, tôi chỉ là một cậu bé chơi bên bãi biển và tự hài lòng khi chốc chốc lại nhặt được một viên sỏi nhẵn hay một vỏ sò đẹp, trong khi đại dương vĩ đại của chân lý vẫn nằm trước mặt tôi một cách nguyên sơ .” Quả Newton thừa nhận một điều rất khiêm tốn: tính công bằng và dân chủ trong khoa học.

Hãy học lấy cái khiêm tốn đó trước đại dương chân lý bao la. “Chân lý là cái không bao giờ tìm thấy hết được trọn vẹn và chúng ta không ngừng đi tìm nó” như Humboldt nhắn nhủ 200 năm trước

Hình Học Và Các Loại Hình Học (tiếp)

13. Những khái niệm căn bản của hình học Euclid là gì?

Trong hình học Euclid, điểm và đường là những khái niệm căn bản. Một điểm được nói là không có độ lớn, và một đường thì không có bề rộng.

Nhưng đây là những mô tả gợi mở chứ không phải những định nghĩa toán học.

14. Các điểm và đường trong hình học khác như thế nào với các đối tác vật chất của chúng?

Khái niệm điểm là một đối tượng rất nhỏ có hiện thân vật chất là một chấm bút chì. Một đường thẳng tự hiện thân ở một sợi chỉ bị kéo căng hoặc một tia sáng.

Điểm và đường trong hình học là cái trừu tượng từ chấm bút chì và đường kẻ bút chì trong kinh nghiệm hằng ngày.

15. Công dụng của sự trừu tượng ấy là gì?

Ưu điểm từ những trừu tượng như thế là các điểm và các đường trong hình học có những tính chất đơn giản hơn nhiều so với các chấm và các đường vật chất. Ví dụ, hai chấm bút chì đủ to có thể được nối lại bởi nhiều đường kẻ bút chì, nhưng nếu hai cái chấm có kích cỡ càng lúc càng nhỏ, thì toàn bộ các đường kẻ trông hầu như giống hệt nhau và chúng ta chẳng gặp khó khăn gì trong việc nhận thức tiên đề hình học rằng có một và chỉ một đường thẳng có thể được vẽ giữa hai điểm bất kì.

16. Các giả thiết của hình học Euclid là gì?

Các giả thiết của Euclid như sau:

1. Qua hai điểm bất kì, luôn luôn vẽ được một đường thẳng.
2. Đường thẳng có thể kéo dài vô hạn.
3. Với tâm bất kì và bán kính bất kì, luôn luôn vẽ được một đường tròn.
4. Mọi góc vuông đều bằng nhau.
5. Nếu hai đường thẳng tạo thành với một đường thẳng thứ ba hai góc trong cùng phía có tổng nhỏ hơn 180 độ thì chúng sẽ cắt nhau về phía đó.

17. Các tiên đề của hình học Euclid là gì?

Các tiên đề của Euclid như sau:

1. Hai cái cùng bằng cái thứ ba thì bằng nhau.
2. Thêm những cái bằng nhau vào những cái bằng nhau thì được những cái bằng nhau.
3. Bớt đi những cái bằng nhau từ những cái bằng nhau thì được những cái bằng nhau.
4. Trùng nhau thì bằng nhau.
5. Toàn thể lớn hơn một phần.

18. Tiên đề khác với giả thiết như thế nào?

Các tác giả hiện đại thường không nhớ sự phân biệt của Euclid giữa tiên đề và giả thiết, họ sử dụng những tên gọi này nhầm lẫn và gọi chúng là những giả thiết căn bản.

19. Euclid thu được gì từ một tập hợp nhỏ gồm những giả thiết căn bản như thế?

Chỉ sử dụng vài giả thiết căn bản này, Euclid đã chứng minh hàng trăm định lí, nhiều trong số chúng nổi tiếng, và đi đến xếp thứ tự các định lí.

Khái niệm chứng minh, cái cấu thành tinh thần căn bản của toán học, do Euclid nêu ra.

Vì các chứng minh phải được thực hiện hoàn toàn trong khuôn khổ các giả thiết, cho nên sự chọn lựa những giả thiết căn bản của Euclid thật sự là đáng nể và là thành tựu của thiên tài.

20. Định đề hai đường song song là gì?

Giả thiết thứ năm của Euclid đã nói ở trên được gọi là định đề hai đường song song. Một dạng tương đương của định đề trên là như sau:

Qua một điểm cho trước nằm ngoài một đường thẳng cho trước, ta vẽ được một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.

Đây là “định đề hai đường song song” nổi tiếng. Nó thể hiện sự thiên tài của Euclid vì đã nhận ra sự cần thiết của nó.

Một hệ quả logic của định đề này là Định lí Pythagoras phát biểu rằng tổng ba góc của một tam giác luôn bằng 180 độ.

Hình học và các loại hình học

1. Có bao nhiêu loại hình học?

Chủ yếu gồm ba loại. Nhưng có thể có vài loại.

2. Ba loại vừa nói là ba loại nào?

Hình học Euclid, hình học Lobachewski, và hình học Riemann.

3. Có cái gì đặc biệt khiến chúng khác nhau à?

Vâng. Trong hinh học Euclid, tổng số đo ba góc của một tam giác luôn bằng 180^o, nhưng trong hình học Lobachewski nó luôn nhỏ hơn 180^o, còn trong hình học Riemann nó luôn lớn hơn 180^o.

4. Vậy thì ba loại đó liên tục mâu thuẫn với nhau rồi!

Không, chúng đồng thời tồn tại trong không khí khá hòa bình.

5. Hinh học Euclid là gì?

Hình học dạy ở nhà trường trong đó các hình vẽ và sơ đồ được vẽ trên một tờ giấy hoặc một bảng đen bình thường được gọi là hình học Euclid để tôn vinh nhà toán học Euclid.

Ông sinh sống vào khoảng năm 300 trước Công nguyên ở Syria nhưng có gốc gác Hi Lạp.

6. Euclid đã có đóng góp gì cho Hình học?

Ông đã tổng hợp toàn bộ kiến thức hình học tích lũy cho đến thời đại của ông thành một dạng có hệ thống và logic và biên soạn nó thành 13 tập sách được đặt tên là “Các nguyên tố”.

Ông đã phát triển hình học là một cấu trúc logic.

7. Một cấu trúc logic là gì?

Trong một cấu trúc logic, một vài thuật ngữ và một vài tiền đề không chứng minh được giả định, và toàn bộ phần còn lại được phát triển dựa trên logic.

Những thuật ngữ không định nghĩa được gọi là những khái niệm căn bản, và những tiền đề không chứng minh được gọi là “sự thật nửa-hiển nhiên”, tiên đề, giả thuyết, hay đơn giản là giả thiết.

8. Làm thế nào những thuật ngữ không định nghĩa và những tiền đề không chứng minh lại có chỗ đứng trong một cấu trúc logic?

Trong bất kì một nghiên cứu có hệ thống nào, cái tự nhiên được trông đợi là chúng ta định nghĩa tỉ mỉ toàn bộ những thuật ngữ của chúng ta sao cho chúng ta biết mình đang nói về cái gì. Nhưng mỗi thuật ngữ phải được định nghĩa bằng cái gì đó đã được định nghĩa trước đó, và chính thuật ngữ này lại phải được định nghĩa, và cứ thế; cho nên hành trình đi ngược dòng này phải dừng lại ở đâu đó. Vì thế, có một vài thuật ngữ không định nghĩa được xem là hiển nhiên và với chúng định nghĩa là không cần thiết.

Tương tự, để chứng minh một định lí là đúng, ta cần chỉ ra rằng nó tuân theo một tiền đề nào đó đã được chứng minh trước đó, và chính tiền đề này hóa ra lại cần phải chứng minh, và cứ thế. Hành trình lần ngược này một lần nữa phải dừng lại ở đâu đó nên có một số tiền đề được chấp nhận là đúng và đối với chúng chứng minh là không cần thiết.

9. Phải chăng những tiền đề không chứng minh hay giả thuyết không chịu ràng buộc nào cả?

Chúng chịu hai ràng buộc quan trọng. Thứ nhất là các giả thuyết phải nhất quán. Điều này có nghĩa là các phát biểu mâu thuẫn sẽ không được gợi đến bởi những giả thuyết. Chúng phải không dẫn tới “A là B” và “A không phải là B”.

Thứ hai là các giả thuyết phải hoàn chỉnh. Điều này có nghĩa là mỗi định lí của hệ thống logic phải được suy ra từ các giả thuyết.

10. Có bất kì ràng buộc nào khác nữa không?

Cái hợp lí là các giả thuyết là độc lập. Nghĩa là không có giả thuyết nào được suy luận ra từ giả thuyết khác.

Đây là cái đáng khao khát cho lí giải kinh tế học và cái đẹp nhưng nội hàm của một giả thuyết không độc lập không làm vô hiệu hệ thống. Việc phát hiện một giả thuyết như thế đôi khi chẳng dễ dàng gì.

Và, tất nhiên, các giả thuyết phải đơn giản và không chứa quá nhiều con số; nếu không hệ thống logic được phát triển sẽ không có lợi gì nhiều.

11. Phải chăng các giả thuyết không cần phù hợp với kinh nghiệm hằng ngày?

Các giả thuyết không nhất thiết phù hợp với kinh nghiệm hằng ngày, bởi vì phát triển một cấu trúc trên nền tảng của những giả định mới và chắc chắn chỉ có thể đưa đến những khám phá mới tinh và những tiến bộ quan trọng.

Những giả định cực kì chắc chắn đó đã đưa đến khám phá ra những hình học khác ngoài hình học Euclid trong trường hợp rồi chúng ta sẽ thấy.

12. Các giả thuyết được sử dụng như thế nào và dẫn tới cái gì?

Một vài giả định hoặc quy tắc được nêu ra lúc bắt đầu là bình thường và không thể tránh khỏi nên không thể nào dự đoán hết những hệ quả của chúng. Từ đây, các quy tắc được vạch ra phải ăn khớp và từ đó xâu chuỗi, cứ thế cho đến khi đi tới kết quả cuối cùng, và nó thường là bất ngờ.

Người ta cảm thấy có động lực mạnh mẽ để xét lại chuỗi ý tưởng nhưng như thế chỉ khẳng định lại kết quả cuối cùng mà thôi!

                                                                                                                               Thuvienvatly.com

Toán học – Những điều kì thú và những mốc son lịch sử

Đại số và Các loại đại số

1. Hình học đã được phát triển ở hình thức tiên đề, còn Số học và Đại số thì không. Tại sao vậy?

Nguyên nhân nằm ở nguồn gốc của chúng.

Hình học đã được phát triển bởi người Ai Cập, là kết quả đo đạc đất đai của họ. Vào thế kỉ thứ 7 trước Công nguyên, hình học đã lan truyền từ Ai Cập sang Hi Lạp, nơi nó dần dần phát triển thành một lí thuyết toán học.

Như vậy, hình học là một lí thuyết toán học có nguồn gốc Hi Lạp. Người Hi Lạp đã gắn giá trị lớn cho các chứng minh và vì thế đã phát triển hình học theo hướng tiên đề.

Toán học của những con số của chúng ta có nguồn gốc của nó thuộc về toán học của người Hindu, người Arab và người Babylon.

Họ không quan tâm đến việc đưa ra các chứng minh nên toán học của những con số đã được truyền lại cho chúng ta đơn thuần ở dạng một tập hợp những quy tắc tính toán không liên quan với nhau mấy.

Xu hướng hiện đại là trình bày tất cả các nghiên cứu toán học theo hình thức tiên đề.

2. Ý nghĩa của từ “arithmetic” là gì?

Từ “arithmetic” (sự tính/số học) có nghĩa là “nghệ thuật tính toán” nên bài học ở trường tiểu học của chúng ta là một tập hợp gồm những lời giải của những bài toán đa dạng và các quy tắc tính toán.

Nhưng theo thời gian arithmetic đã biến thành lí thuyết của những con số.

3. Số học là một trừu tượng phải không?

Số học thể hiện những nỗ lực sớm nhất của trí tuệ con người đối với sự trừu tượng.

Như vậy, khi chúng ta nói, 2 + 3 = 5, đó là một phát biểu không phải nói về những vật đặc biệt như cái bút chì hay đồng xu, mà về tất cả những vật có thể đếm được vẫn giữ được nhận dạng riêng của chúng.

Ở đây, bản chất của các vật, tức là chúng là cái bút chì hay đồng xu hay cây cối hay bất kì cái gì khác, dù sống hay không sống, vân vân... không còn liên quan nữa, và phát biểu thành ra đúng theo một kiểu chung chung.

Các con số được đặt tên (một, hai, ba,...) và kí hiệu (1, 2, 3,...) và được sử dụng như những vật cụ thể bền bỉ đến mức chúng ta có xu hướng quên mất rằng chúng ta đang giải quyết các khái niệm chứ không phải các vật cụ thể.

4. Phát biểu 2 + 3 = 5 có đúng cho mọi loại vật hay không?

Không. Nếu các vật không giữ được nhận dạng riêng của chúng, thì phát biểu trên có thể không đúng đối với chúng.

Ví dụ, thêm 2 giọt nước vào 3 giọt nước có thể chỉ tạo ra một giọt nước – một giọt nước lớn.

Tương tự, nếu nhốt 2 con hổ và 3 con thỏ chung một chuồng, thì sau một lúc nào đó có thể ta thấy chỉ còn hai con vật thôi – hai con hổ sẽ ăn thịt 3 con thỏ cùng đường mạt lộ kia.

Một ví dụ nữa, một lực bằng 2 đơn vị và một lực khác bằng 3 đơn vị, hai lực cùng tác dụng vào một vật có thể cho hợp lực bằng bất kì giá trị nào nằm giữa 1 và 5 đơn vị lực tùy thuộc vào góc giữa chúng.

Nếu chúng tác dụng ngược chiều nhau, thì tổng của chúng sẽ bằng một đơn vị, còn nếu chúng tác dụng cùng chiều nhau, thì tổng của chúng sẽ bằng 5 đơn vị.

Tuy nhiên, tổng của chúng sẽ bằng 4 đơn vị nếu góc giữa chúng bằng 75,5 độ.

5. Sự mở rộng khái niệm số có nghĩa là gì?

Những con số đầu tiên gắn liền với những vật cụ thể nên khái niệm số ban đầu hạn chế với chỉ những con số nguyên. Các phân số xuất hiện tự nhiên sau đó và sự ra đời của một kí hiệu cho số không là một sự kiện lớn, còn các số âm được thừa nhận lại là một sự miễn cưỡng lớn.

Những con số như thế gộp chung lại được gọi là số hữu tỉ.

Một lần nữa sự mở rộng này bắt đầu, và đến lượt số vô tỉ và số phức được công nhận.

Một số vô tỉ là con số không thể biểu diễn được bằng thương của hai số nguyên. Ví dụ, √2 là một số vô tỉ.

Số vô tỉ và số hữu tỉ được gọi chung là số thực.

Một số phức là một con số bất kì có dạng a + bi, trong đó a và b là số thực, và i là kí hiệu cho căn bậc hai của trừ một, tức là i² = - 1.

6. Các số siêu việt là gì?

Những số vô tỉ không bằng căn bậc hai của bất kì phương trình đại số nào được gọi là số siêu việt.

e và π là những số như thế.

e = 2,71828...;                    π= 3,14159...

các dấu chấm ở cuối có nghĩa là chuỗi số không có kết thúc mà kéo dài đến vô tận.

Về các số siêu việt, có một kết quả thú vị do Gelfond chứng minh vào năm 1934 là α^β là siêu việt nếu α là đại lượng đại số khác 0 và khác 1, và β là đại lượng đại số và không phải số hữu tỉ.

Như vậy, 2^√3, 3^√2, 5^√3 là những số siêu việt. Nhưng nếu α và β đều là siêu việt thì không biết α^β có siêu việt hay không. Ví dụ, người ta không rõ e^e, π^π hoặc π^e có là siêu việt hay không.

Tuy nhiên, e^iπ = - 1 là một kết quả rất đẹp.

7. Vì sao đại số được gọi là số học khái quát hóa?

Một ví dụ sẽ làm sáng tỏ.

Ở nhà trường, trẻ em được học rằng nếu lấy bình phương của một con số trừ cho 1, thì nó bằng tích của số liền trước và số liền sau con số đó.

Như vậy,              4² – 1 = (4 + 1) (4 – 1).

                                5² – 1 = (5 + 1) (5 – 1),

                                6² – 1 = (6 + 1) (6 – 1).

Rõ ràng mệnh đề trên là đúng nếu ở chỗ 4, 5 hoặc 6, ta thay vào con số bất kì nào khác.

Nếu đưa một kí hiệu mới, ví dụ như x, để biểu diễn một con số bất kì và là một con số không có gì đặc biệt hết, thì mệnh đề trên có thể được viết khái quát như sau

x² – 1 = (x + 1) (x – 1).

Việc đưa thêm vào kí hiệu x là sự khởi đầu của đại số.

8. Sức mạnh của đại số nằm ở đâu?

Đại số có được phần lớn sức mạnh của nó từ việc xử lí bằng kí hiệu với các phần tử, các toán tử và các liên hệ.

Các kí hiệu x, y, z,... được dùng làm các phần tử, phép cộng và phép nhân chủ yếu được dùng làm toán tử, và dấu bằng là liên hệ bình thường kết nối các phần tử.

Như vậy x + x = 2x, và x + y = y + x

cho dù x và y biểu diễn con số nào.

9. Đại số có được khái quát hóa không?

Kí hiệu x, dùng để biểu diễn con số bất kì, có tiềm năng giả định lớn. Trước tiên, nó mang đến các phương trình đại số, cái thống lĩnh địa hạt nghiên cứu lâu đến mức trong khoảng một thế kỉ rưỡi, đại số chỉ là lí thuyết của các phương trình.

Sau này x không chỉ hạn chế là những con số mà nó còn được sử dụng để biểu diễn bất kì thực thể nào khác, và các dấu toán tử cho phép cộng và phép nhân đã được phép mang lại những ý nghĩa mới tùy thuộc vào loại thực thể đang được xét đến.

Vì thế, thực thể xác định ý nghĩa gắn liền với dấu + và ×.

Các vector và ma trận là hai ví dụ quen thuộc của những thực thể như thế. Chúng sẽ được nói tới ở phần sau.

Đây là hình ảnh khái quát hóa của cái đại số ban đầu đại diện.

10. Nó khác như thế nào với hình thức ban đầu của đại số?

Trong đại số sơ cấp, các chữ cái kí hiệu cho những con số bình thường, và các dấu toán tử, ví dụ + và ×, kí hiệu cho phép cộng và phép nhân bình thường. Nhưng ở hình thức khái quát hóa, các chữ cái kí hiệu cho thực thể bất kì nào đó, và dấu của toán tử là bất kì quy tắc kết hợp nào có liên quan đến thực thể.

Toán học – Những điều kì thú và những mốc son lịch sử