Một số ứng dụng lí thú của khoảng cách

Nếu có người hỏi bạn: “Em hãy cho biết đường ngắn nhất từ Thủ đô Hà Nội đến Thành phố Việt Trì?”

          Có rất nhiều câu trả lời câu hỏi đó. Trong đó có câu trả lời: “ Đường ngắn nhất từ Thủ đô Hà Nội đến Thành phố Việt Trì là con đường hầm đào xuyên thẳng từ Hà Nội đến Việt Trì”

          Theo Toán học câu trả lời của bạn không sai. Nhưng trên thực tế cuộc sống, chúng ta hoạt động trên bề mặt Trái Đất, thì phải hiểu đường ngắn nhất từ Hà Nội đến Việt Trì là đường vòng cung theo bề mặt Trái Đất; còn con đường các tuyến xe hay đi đó là đường con người xây dựng cho hợp với địa hình, đảm bảo cho sự phát triển xã hội.

Trên Thế giới, đường hầm đào trong lòng đất làm đường giao thông có từ rất lâu và nhiều. Ví dụ như tuyến đường sắt Leverpool – Manchester ở Anh có từ năm 1826; đường hầm Saikan dài nhất thế giới hiện nay với tổng chiều dài 53,85 km, trong đó phần chìm dưới biển có chiều dài 23,3 km, nó nằm bên dưới eo biển Tsugaru nối liền hai đảo Honshu và Hokkaido của Nhật Bản…Và nếu dự án Đường hầm cơ sở Gotthard hoàn thành vào năm 2015 thì đây là đường hầm được xây dựng lớn nhất trong lịch sử châu Âu, và trở thành hầm đường sắt dài nhất trên thế giới với chiều dài dự kiến 57km. Đường hầm này được xây dựng ở Thụy Sĩ xuyên qua dãy Alps, vốn được coi là rào cản giữa Bắc Âu và Nam Âu. Người ta sẽ xây một tuyến đường ray cao tốc nối liền thành phố Zurich của Thụy Sĩ và Milan của Italy. Toàn bộ tuyến này sẽ nằm trên cùng độ cao 500 m so với mực nước biển, bảo đảm cho tàu hoả đạt đến tốc độ 240 km/h, rút ngắn thời gian di chuyển từ Zurich đến Milan chỉ còn 2,5 giờ.

Ở nước ta, cũng có rất nhiều đường giao thông hầm: Đường hầm dưới đèo Hải Vân với đường hầm chính dài 6,3 km, hầm phụ chạy song song dài 6,3 km, hầm thông gió dài 1,9 km, 3 hầm lọc bụi tĩnh điện cùng với 15 hầm ngang, tạo thành một hệ thống đường hầm hoàn chỉnh có tổng chiều dài khoảng 15,1 km.

          Tuy vậy các đường hầm trên vì quá ngắn nên ảnh hưởng của lực trọng trường không lớn, hơn nữa nhiều đường không phải là đường thẳng tắp.

          Vào khoảng đầu thế kỷ XX ở Peterbua (Leningrat) đã xuất hiện một tập sách “Đường sắt ngầm tự động giữa Peterbua và Mockva”. Đây là một cuốn tiểu thuyết viễn tưởng, tác giả đã nêu một kế hoạch táo bạo: Đào một đường hầm thẳng tắp, dài 800km giữa hai thủ đô cũ – mới của nước Nga. Điều quan trọng nhất của kế hoạch này không phải muốn có đoạn “đường ngắn nhất”, mà nếu có con đường như vậy thì sẽ phát sinh một hiện tượng khác thường: xe cộ giống như con lắc. Tốc độ ban đầu rất chậm, sau đó do tác dụng của trọng lực, tốc độ xe ngày càng nhanh, gần điểm giữa của đường hầm tốc độ đạt cao nhất, sau đó giảm dần, dựa vào quán tính tiến về cuối đường hầm. Tác giả cũng tính toán được rằng, nếu bỏ qua ma sát thì đi từ Peterbua đến Mockva chỉ mất 42 phút 12 giây.

          Như vậy, việc xác định khoảng cách trong Toán học giúp chúng ta có thể tìm được phương án tối ưu khi xây dựng công trình xây dựng, giao thông, chọn đường đi sao cho ngắn nhất.

Sau đây chúng ta đến với một ví dụ thú vị: Một con kiến ở đỉnh A của một khối gỗ dạng hình hộp chữ nhật, một miếng bánh ở điểm C’ của khối gỗ này. Hỏi con kiến phải  bò theo đường nào mới có thể đến được miếng bánh một cách nhanh nhất?

          Từ  hình 1 ta khai triển ba mặt nhìn được ta có hình 2. Khi đó ta thấy đường con kiến đi phải là đường ngắn nhất trong hai đoạn AMC’ và ANC’.

Giả sử AB = a, BC = b, AA’ = c. Từ hình 2 ta có:

           

Từ (*) ta thấy, khi a > c thì ANC’ > AMC’, tức là kiến phải bò theo đường gấp khúc AMC’ mới đến được miếng bánh nhanh nhất, ngược lại, khi a < c thì kiến phải bò theo đường gấp khúc ANC’.

Qua bài viết trên ta thấy rằng có thể ứng dụng “khoảng cách” để giải quyết các bài toán thú vị trong cuộc sống hàng ngày.

Lê Thị Ngọc Phượng